tan75度等于多少保留根号

【tan75度等于多少保留根号】在三角函数中，tan75°是一个常见的角度，其值可以通过三角恒等式推导得出。由于75°可以表示为45° + 30°，因此我们可以利用正切的和角公式来计算其值，并将结果以保留根号的形式表达。

一、公式推导

根据正切的和角公式：

$$

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}

$$

令 $ A = 45^\circ $，$ B = 30^\circ $，则有：

$$

\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}

$$

已知：

- $\tan 45^\circ = 1$

- $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

代入公式得：

$$

\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}

$$

为了进一步化简，可对分母进行有理化处理：

$$

\frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \times \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{9 - 3} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{6} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}

$$

二、最终结果

通过上述推导，我们得到：

$$

\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}

$$

该结果保留了根号形式，符合题目的要求。

三、总结与表格展示

四、说明

在实际应用中，$\tan 75^\circ$ 的近似值约为 3.732，但若题目明确要求“保留根号”，则应使用 $ 2 + \sqrt{3} $ 这一精确表达方式。这种方式不仅更准确，也便于后续数学运算中的符号处理。

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